Биография

    Еще одна замечательная и несколько неожиданная идея, содержавшаяся в статье - это идея  варьирования с помощью замены независимой переменной (времени), или v -замены, где  v- производная от функции, осуществляющей замену. Каждая монотонная замена времени (то есть замена с неотрицательной функцией v) порождает, так называемую, "присоединенную задачу" и новую оптимальную траекторию в ней. Малые вариации функции в присоединенной задаче приводят к немалым вариациям управления в исходной задаче, выполняющий роль вейерштрассовских игольчатых вариаций, с помощью которых принцип максимума был первоначально получен.
     Локальный принцип максимума, выписанный в каждой присоединенной задаче, переписывается в виде "частичного принципа максимума" в исходной задаче. В результате организации частичных принципов максимума в исходной задаче (а она была возможна во всех исследовавшихся тогда случаях, а также во многих других) и возникает принцип максимума.
     Теперь у принципа максимума появилась важная трактовка: он оказался эквивалентен условию стационарности в каждой присоединенной задаче (имеется в виду стационарность траектории, возникшей из исходной траектории с помощью v замены). Эта трактовка в дальнейшем служила надежным ориентиром при распространении принципа максимума на более широкие классы задач.
     Первыми были охвачены задачи с фазовыми ограничениями. Принципу максимума для задач с фазовыми ограничениями была посвящена докторская диссертация Алексея Алексеевича, с блеском защищенная в 1966 г. в институте прикладной математики АН СССР. Помимо основных результатов по принципу максимума в диссертации содержался пример экстремали, у которой при "посадке" на границу фазового ограничения наблюдается счетное число контактов с границей на конечном отрезке времени, предшествующем движению вдоль границы. При этом управление имеет счетное число переключений, накапливающихся к точке (четтеринг). Моменты переключений образовывали убывающую геометрическую прогрессию, что было связано с автомодельностью траектории. Позднее подобный пример был независимо обнаружен и посчитан Роббинсом.
     Далее, в конце 60-х и в 70-е годы в серии работ А.Я.Дубовицкий и А.А.Милютин совместно строят теорию принципа максимума для задач с регулярными и нерегулярными смешанными ограничениями. Их замечательным достижением явился локальный принцип максимума для нерегулярных смешанных ограничений, опубликованный в так называемой "белой книге"- "Необходимые условия экстремума в общей задаче оптимального управления", М., Наука, 1971 г. К сожалению, книга вышла тиражом всего в 500 экземпляров и давно стала библиографической редкостью. В книге проведен очень тонкий анализ уравнения Эйлера для задач со смешанными ограничениями, где всерьез пришлось иметь дело с функционалами из пространства, сопряженного к L00 , в частности, с их сингулярными составляющими. В результате анализа никакая информация не была огрублена или потеряна. Ответ был дан в терминах суммируемых функций и мер Радона, и по характеру был близок ответу, полученному ранее для задач с фазовыми ограничениями.
     Дальнейшие усилия авторов были направлены на получение интегрального принципа максимума для задач с нерегулярными смешанными ограничениями. Однако оказалось, что в отличие от регулярных задач, в общем случае нельзя рассчитывать на получение единого принципа максимума, а имеется целая иерархия принципов максимума, не обладающих "максимальным элементом". Поэтому авторы сосредоточились на поисках возможно лучшей формы представления и организации этой иерархии. Этой теме была посвящена докторская диссертация А.Я.Дубовицкого. Впоследствии А.А.Милютину удалось найти новую форму представления условий принципа максимума, отражающую множественность и иерархию принципов максимума в общей задаче, а также новые пути их получения. Изложение этого материала составило содержание монографии А.А.Милютина "Принцип максимума в общей задаче оптимального управления" Москва, ФизМатЛит, 2001 г.
     Помимо научной работы, в конце 60-х и в начале 70-х годов Алексей Алексеевич начинает читать лекции и проводить семинары для студентов мехмата МГУ. Здесь на семинаре, проводившемся совместно с Е.С.Левитиным, Алексей Алексеевич начинает интенсивные исследования по теории условий высших порядков. Он ставит вопрос о получении в оптимальном управлении необходимых условий второго порядка, связанных с достаточными столь же тесно, как это имеет место в задачах анализа и вариационного исчисления. Исследования привели к созданию общей теории условий высших порядков в задачах с ограничениями, центральным в которой явилось новое понятие порядка условия. Порядок теперь трактовался как неотрицательный функционал в пространстве вариаций, служащий оценкой для приращения функционала задачи в точке минимума на допустимых вариациях и определяющий степень грубости рассматриваемого условия. Эта теория была опубликована в статье Е.С.Левитина, А.А.Милютина и Н.П.Осмоловского в журнале "Успехи математических наук" в юбилейном номере №6, 1978 г., посвященном 70-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина. Теория дала совершенно новые подходы к получению условий высших порядков в оптимальном управлении, и результаты не заставили себя ждать. Первые серьезные результаты, принадлежавшие авторам, а также А.В.Дмитруку, были анонсированы в самой статье, а затем А.В.Дмитрук и Н.П.Осмоловский, бывшие студенты и аспиранты Алексея Алексеевича, обобщили свои результаты по теории квадратичных условий в оптимальном управлении для особых и неособых экстремалей соответственно, защитив по этим темам докторские диссертации. Алексей Алексеевич руководил этими исследованиями и активно в них участвовал. Примерно в тот же период им была доказана замечательная "теорема о конечной коразмерности", вскрывшая истинный смысл целой серии результатов других математиков (А.А.Аграчева, Р.В.Гамкрелидзе, Кренера и др.) по необходимым условиям высших порядков для особых режимов в оптимальном управлении.
     В те годы математики, занимавшиеся теорией экстремума, в том числе А.Д.Иоффе, В.М.Тихомиров, В.Ф.Сухинин и др., находили все новые формы ключевой теоремы этой теории - теоремы Л.А.Люстерника о касательном многообразии. А.А.Милютин нашел свою трактовку теоремы Люстерника, определив ее как "теорему о накрывании". Впоследствии были найдены и другие трактовки. Обзор полученных результатов был опубликован А.В.Дмитруком, А.А.Милютиным и Н.П.Осмоловским в юбилейном номере "Успехов", посвященном 80-летию со дня рождения Л.А.Люстерника. Но теорема о накрывании оказалась наиболее простой и ясной по формулировке и в то же время рабочей. В связи с этим она приобретает сейчас все большую популярность, в частности, в негладком анализе (см. статью А.Д.Иоффе в УМН, 2000г., т.55, вып.3).
     Примерно с середины 80-х Алексея Алексеевича все больше занимают проблемы, связанные не с получением новых условий экстремума, а с тем, как сделать эти условия возможно более рабочими для исследования новых явлений в оптимальном управлении. Так появляются теоремы о специальной структуре множителей Лагранжа в условиях принципа максимума (теоремы об отсутствии скачков и теоремы об отсутствии сингулярных составляющих у мер - множителей Лагранжа при фазовых ограничениях), вошедшие в монографию "Необходимое условие в оптимальном управлении", М., Наука, 1990г. Более того, Алексей Алексеевич активно изучает сами явления в оптимальном управлении и других областях математики с помощью аппарата принципа максимума и условий высших порядков.
     С помощью принципа максимума исследуются особенности экстремалей при посадке на границу фазового ограничения и сходе с нее. Полученные результаты изложены в монографии В.В.Дикусара и А.А.Милютина "Качественные и численные методы в принципе максимума", М., Наука, 1989г. Позднее А.А.Милютин получает полное решение серии специальных задач по особенностям посадки экстремали на фазовое ограничение. В этих задачах определены условия, при которых посадка сопровождается счетным числом контактов с фазовым ограничением.

1  2  3  4
1  2  3  4

Rambler's Top100