Биография

     Параллельно с помощью принципа максимума исследуются особенности экстремалей при прохождении особого многообразия (в частности, при посадке на особую экстремаль), воронки неединственности для экстремалей, условия возникновения эффекта типа четтеринг, или более общо, разрыва второго рода управления. Активное участие в этих исследованиях принимал С.В.Чуканов. Их результаты опубликованы в монографии А.А.Милютина, А.Е.Илютовича, Н.П.Осмоловского и С.В.Чуканова "Оптимальное управление в линейных системах".
     При помощи квадратичных условий А.А.Милютин исследует понятие жесткости в оптимальном управлении. На жесткость переносится полная система квадратичных условий. В результате оказываются получены характеристики множеств квадратично жестких траекторий в контактных структурах для пространства произвольной размерности и выяснена структура и размерность множества квадратично жестких траекторий в контактной структуре в зависимости от размерности пространства. Алексей Алексеевич строит удивительный (на первый взгляд) пример квадратично жесткой траектории, у которой имеется неединственный набор нормированных множителей Лагранжа, и для каждого набора соответствующая ему квадратичная форма не является даже неотрицательно определенной на множестве критических вариаций (пример перестает быть столь удивительным при знакомстве с полной системой квадратичных условий для особых экстремалей, полученных А.В.Дмитруком).
     Совместно с А.В.Дмитруком А.А.Милютин анализирует при помощи квадратичных условий особые геодезические относительно субметрик. В частности, он устанавливает неоднородность (по свойствам экстремалей) структуры окрестности особой геодезической относительно субметрики и доказывает, что в топологии равномерной сходимости функций вместе с их производными каждая особая, локально квадратично жесткая геодезическая является предельной для последовательностей неособых экстремалей двух типов: последовательностей, у которых все пары сопряженных точек сближаются на сколь угодно малое расстояние, и последовательностей, у которых не существует подпоследовательности сближающихся пар сопряженных точек.
     Проблемы, возникающие в квадратичной теории особых экстремалей, явились стимулом для исследования возможности приближения произвольных векторных полей в конечномерном пространстве градиентными полями. Алексей Алексеевич находит формулу двойственности, которая связывает между собой нормированную циркуляцию векторного поля с расстоянием (в некотором смысле) от этого поля до множества градиентных векторных полей. Затем эта формула успешно применяется в квадратичной теории особых экстремалей.
     Совместно с В.Л.Бодневой А.А.Милютиным было получено обобщение асимптотического метода Боголюбова-Крылова на случай произвольной зависимости правой части дифференциального уравнения от параметра. При этом параметром может быть элемент метрического пространства. Были получены рекуррентные формулы этого обобщенного асимптотического процесса (УМН, 1987г., т.42, вып.3). Такой подход позволил авторам (А.А.Милютину, В.Л.Бодневой) получить новые интересные результаты по математической теории вибраций, когда в качестве малого параметра рассматривается вибрация - последовательность, слабо  L00  сходящаяся к нулю.(Russian J. Of Math. Phys., 1998, v.5, N2). Предложенный метод не вкладывается в известные методы усреднения и позволяет получать предельные системы как для случая непрерывных по фазовой переменной правых частей, так и для разрывных (например, для задач с сухим трением).
     Совместно с Н.П.Осмоловским А.А.Милютин анализирует движение и взаимопроникновение идей между вариационным  исчислением и оптимальным управлением. Началом для этого анализа послужили лекции А.А.Милютина по вариационному исчислению, прочитанные на мехмате МГУ. По аналогии с теорией слабого минимума, составляющей основу классического вариационного исчисления, строится исчисление так называемого понтрягинского минимума, исследуемого в теории оптимального управления. Теория понтрягинского минимума составила содержание монографии А.А.Милютина и Н.П.Осмоловского "Calculus of Variations and Optimal Control", опубликованной Американским математическим обществом в 1998 г. в серии "Переводы математических монографий".
     После поездки в Израиль в 1998 г. на конференцию, посвященную 300-летию вариационного исчисления, внимание Алексея Алексеевича привлекают результаты по теории принципа максимума для дифференциальных включений. В связи с этим он исследует влияние условия Гельдера для дифференциального включения на форму принципа максимума и устанавливает, что для дифференциального включения, правая часть которого задана выпуклозначным отображением, удовлетворяющим условию Гельдера, и при отсутствии фазовых и смешанных ограничений принцип максимума с непрерывными сопряженными переменными не имеет места (что является частичным ответом на аналогичный вопрос Кларка относительно липшицевых включений). Кроме того, для дифференциальных включений А.А.Милютин устанавливает неэквивалентность принципа максимума и принципа Экланда соответственно. А именно, при помощи принципа максимума он находит более тонкие необходимые условия в задачах оптимизации для дифференциальных включений, чем те, которые были получены ранее Кларком в тех же задачах с помощью принципа Экланда. С помощью принципа максимума он усиливает также условия Смирнова.
     К сожалению, невозможно в коротком обзоре упомянуть обо всех важных и разнообразных результатах, полученных А.А.Милютиным.

                       И.Л.Барский, В.Л.Боднева, А.В.Дмитрук, М.И.Зеликин, Я.М.Каждан, С.Л.Каменомостская, А.М.Коган, А.М.Молчанов, Н.П.Осмоловский, В.М.Тихомиров, А.В.Фурсиков, Э.Э.Шноль.

1  2  3  4
1  2  3  4

Rambler's Top100